Respirons un grand coup.

Il existe de nombreuses manières d'approcher le concept de nombre, et les opérations fondamentales qu'on leur applique. Tout d'abord une approche ensembliste, qui consiste à partir d'un axiome (ou plusieurs) fondamental en progressant petit à petit jusqu'au fameux concept de nombre. Malheureusement cette approche nécessite de s'attarder quelque peu sur certaines étapes, il s'agit d'un travail intellectuel long et ardu. Il existe une autre approche qui consiste à accepter l'existence d'un point particulier sur l'espace topologique sur lequel notre réflexion s'appuye : le point zéro.

Acceptons le pour le moment. Si par ailleurs nous acceptons et prenons donc pour acquise l'existence des nombres entiers, alors le film peut directement commencer.

Partant avec un nombre a, entier, et que nous comptons successivement une unité b fois de suite, le nombre auquel nous arrivons est noté a + b et ceci définit l'opération d'addition.

Tout ceci paraît fort simple, et ça l'est effectivement. Maintenant supposons que nous ne voulions pas vraiment émettre toutes ces hypothèses de départ. Qu'en est-il dans ce cas ? Si néanmoins ces hypothèses de départ vous conviennent (l'existence du nombre zéro, et l'existence des nombres entiers naturels ℕ), vous pouvez directement passer à l'opération fondamentale suivante, la multiplication. Qu'en est-il donc ? Et bien dans ce cas de figure, il nous faut à priori définir les objets de l'argumentation plus profondément, et définir quels sont ces fameux objets sur lesquels nous agissons. L'idée en mathématiques, c'est de compter, ni plus ni moins. Mais on se pose rarement la question de savoir ce qui se cache derrière les poireaux et les tomates qui font l'objet des exercices pénibles qu'on rédige sur les cahiers en classe de primaire.

Qu'à cela ne tienne, parlons donc d'objets. On s'accordera tous pour dire qu'un objet n'est pas un nombre, nous agirons donc de façon abstraite mais suffisamment détachée de la notion de nombre elle même. Voilà l'idée : On va définir des classes (à ne pas confondre avec le concept de classe d'équivalence, qui est une notion plus précise) d'objets, et ranger ces objets entre eux. Pour ne pas confondre l'idée de classe avec les classes d'équivalences dont la définition viendra dans un autre cadre, nous allons utiliser le mot ensemble pour désigner ces familles d'objets. Ce n'est pas vraiment innocent, car c'est bien le terme qui fut utilisé par les éminents mathématiciens qui sont à l'origine de la théorie des nombres et des ... ensembles. Le plus simple de tous les ensembles est l'ensemble vide, et pour cause, il ne contient aucun membre. On le note généralement {}, et on lui attribue un symbole : ø.

Les accolades délimitent donc un ensemble dont les membres sont les objets spécifiés entre les accolades. Pour notre premier ensemble, il n'y a rien puisqu'il s'agit de l'ensemble vide . On peut cependant associer ø au nombre 0 (au sens, le nombre naturel 0). Nous pouvons maintenant continuer et définir l'ensemble suivant (gardons en tête le mot "suivant", on aurait pu s'en passer mais il n'est pas placé là innocemment), qui est précisément l'ensemble constitué de l'ensemble vide ø. On le note donc {ø}, puis on peut éventuellement associer cet ensemble à un symbole, qui n'est de toute évidence pas choisi innocemment non plus, à savoir le symbole 1.

On continue ce petit jeu en définissant l'ensemble suivant, dont les deux membres sont les deux entités définies ci-dessus, à savoir ø et {ø}, et on note cet ensemble {ø, {ø}}, qu'on associe, je vous le donne en mille, au symbole 2.

On comprend aisément quelle sera la suite des opérations, toujours est-il que le mot "suivant" utilisé plus haut sous entend une relation d'ordre entre les différents symboles définis, et nous avons, presque sans nous en rendre compte, défini l'ensemble des nombres entiers naturels ℕ.

Formidable ! On a construit l'ensemble ℕ, comme ça, à partir de rien. C'est très bien, mais ça ne suffit pas. Il faut maintenant expliquer ce 0, entité tout à fait mystique dont certaines civilisations ont pu se passer pendant très longtemps. Pour approfondir ce sujet, il faut se tourner vers les ouvrages de Richard Dedekind (La création des nombres) qui traitent efficacement cette question. Globalement, on peut dire que Dedekind effectue une analogie entre l'ensemble des entiers et une droite graduée, et effectue une coupure sur cet axe. Cette coupure n'est autre que le point 0, et cet acte a, reconnaissons-le, une dimension spirituelle qui nous dépasse de loin. En temps et en heures, je tenterai d'expliquer cet acte de coupure, et cette conception que Dedekind adopte pour le point 0.

Après avoir défini l'addition, nous pouvons alors considérer ceci : si nous ne partons de rien, mais que nous lui additionnons a, b fois de suite, nous appelons le résultat la multiplications des entiers, nous l'appelons b fois a, et on écrit ceci : b x a. Nous pouvons également avoir une succession de multiplications : si nous partons de 1 et multiplions par a, b fois de suite, nous appelons cette procédure l'élévation à une puissance et on écrit : a^b. A partir de ces seules assertions, les mathématiciens ont montré qu'un certain nombre de relations sont vraies, au sens mathématique du terme.

• a + b = b + a
• ab = ba
• (ab)c = a(bc)
• a^ba^c = a^b+c
• a + 0 = a
• a¹ = a
• a + (b + c) = (a + b) + c
• a(b + c)= ab + ac
• (ab)^c = a^cb^c
• (a^b)^c = a^(bc)
• a.1 = a

Qu'avons nous gagné à ce stade ?

Et bien, pas grand chose. Mais mettons nous un instant à la place des premiers mathématiciens qui ont eu la chance de réfléchir les premiers au sujet des nombres. Ils ont dû progresser à tâtons pour échaffauder des théories qui tiennent la route, et les choses ne se sont éclaircies que très lentement. Et tout porte à croire que les grecs connaissaient beaucoup de mathématiques, mais quel était leur motivation ? Sans répondre précisément à cette dernière question, mettons nous en situation et imaginons que nous sommes quelqu'un qui se fixe pour but de résoudre toutes les équations possibles et imaginables à partir des nombres disponibles (intellectuellement). On se dit : je dois être capable de résoudre tous les problèmes de calcul qu'on me posera, en d'autres termes, je dois pouvoir venir à bout de n'importe quelle équation. On voit dans la liste ci-dessus qu'on peut déjà résoudre beaucoup de choses avec ces nombres entiers. Mais il y a un problème, par exemple, que faire si on me demande combien vaut b si on me donne 2 - 8 = b ? Nous n'avons pas parlé de ça ! Nous allons discuter ce point bientôt.

On reprend la respiration

S'il est clair que les nombres négatifs ont un rôle organisationnel, il est beaucoup moins évident de définir leur essence physique. A titre d'exemple, posons nous la question de la signification physique de dire qu'il y a "moins trois vaches" dans le pré. Evidemment, si je vous dis que vous êtes à moins 500 sur votre compte bancaire, vous comprenez immédiatement. Mais un compte bancaire est un objet abstrait, pas concret, pas physique. Qu'en est-il physiquement ?

Puisque je ne peux pas répondre facilement à cette question, je peux tenter une définition. Pour aborder le sujet sereinement, on peut opérer la fameuse coupure de Dedekind et prendre pour acquis que le point de coupure se démarque de tout le reste. Ce point, appelons le zéro, et c'est le fameux point dont nous avions admis l'existence au début de cette histoire. Si Dedekind opérait sa coupure sur l'ensemble des nombre rationnels ℚ, et non pas sur les nombres naturels ℕ, il n'est pas difficile de définir ce que l'on entend par nombre rationnel(*) à partir de la définition de nombre entier naturel (on vient d'en parler plus haut).

Nous n'allons cependant pas raisonner ainsi, mais plutôt comme le brave quidam qui s'est mis en tête de pouvoir résoudre toutes les équations possibles et imaginables, comme nous l'avons fait plus haut. En plus des opérations directes d'addition, de multiplication, et d'élévation à la puissance, nous avons également les opérations inverses définissables comme suit : Supposons que a et c soient donnés, et que nous voulions trouver quelles valeurs de b satisfont des équations comme

• a + b = c
• ab = c
• b^a = c

Si a + b = c, on définit b comme étant égal à c - a, ce qui est appelé la soustraction.

L'opération appelée la division est également claire : Si ab = c, on définit b comme étant égal à c ⁄ a, ce qui est appelé la division, une solution de l'équation ab = c, à l'envers !

Si maintenant nous avons une puissance b^a = c, et que nous demandons « Qu'est-ce que b ? » b est appelée la racine aième de c : ^a√c

Par exemple, si nous nous demandons quel nombre entier élevé à la troisième puissance est 8, c'est 2. Puisque b^a et a^b ne sont pas égaux, il y a deux problèmes inverses associés avec les puissances, et l'autre problème inverse serait : « A quelle puissance devons nous élever 2 pour obtenir 8 ? »

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Et là attention : Ceci est appelé prendre le logarithme. Si a^b = c, nous écrivons b = log_ac.

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Malgré la notation encombrante qui peut faire peur, il faut absolument garder à l'esprit que cette opération inverse n'est, dans le cas des entiers, en aucune manière moins élémentaire que les autres processus.

Enfin, on peut résumer les opérations directes et inverses comme suit :

Addition a + b = c Multiplication ab = c Puissance ba = c Puissance ab = c

Soustraction b = c - a Division b = c ⁄ a Racine b = a√c Logarithme b = logac

J'attire maintenant l'attention du lecteur sur le fait que ces relations sont correctes et strictement déductibles des seules opérations définies plus haut, d'addition, de multiplication et d'élévation à la puissance, elles sont donc pour le moment au niveau des entiers positifs. Le but de l'étape suivante est de discuter si oui ou non il est possible d'élargir la classe des objets que a, b et c représentent de telle sorte qu'ils obéissent aux mêmes règles, bien que les processus a + b, etc, ne soient pas définissables en termes de l'action directe consistant à ajouter 1, par exemple, ou de multiplications successives par des nombres entiers.

Courage

Lorsque nous essayons de résoudre des équations algébriques simples utilisant toutes ces définitions, nous découvrons rapidement certains problèmes insolubles, comme le suivant : Supposons que nous essayions de résoudre l'équation
b = 3 - 5.
Cela signifie, selon notre définition de la soustraction, que nous devons trouver un nombre qui, lorsqu'il est additionné à 5, donne 3. Et, bien sûr, il n'y a pas de tel nombre, parce que nous ne considérons que des nombres entiers positifs, le problème semble insoluble. Cependant, la grande idée, c'est l' abstraction, et la généralisation.

De toute la structure de l'algèbre, les règles plus les nombres entiers, nous faisons abstraction des définitions originales de l'addition et de la multiplication, mais nous gardons les règles faisant office de résumé des deux premiers paragraphes et nous supposons qu'elles sont vraies en général, pour une classe plus large de nombres, bien qu'elles aient été déduites initialement sur une classe plus petite. Ainsi, plutôt que d'utiliser des nombres entiers symboliquement pour définir les règles, nous utiliserons les règles comme définition des symbole, qui alors seulement représentent un type plus général de nombre. Comme exemple, en utilisant les règles seules, nous pouvons montrer que
3 - 5 = 0 - 2
En fait, nous pouvons montrer qu'on peut faire toutes les soustractions, pourvu que nous définissions tout un ensemble de nouveaux nombres :
0 - 1, 0 - 2, 0-3, 0-4, 0-5, etc appelés les entiers négatifs.
Puis nous pouvons utiliser toutes les autres règles, telles que
a(b + c) = ab + ac, ..., etc
pour trouver quelles sont les règles pour multiplier les nombres entiers négatifs, et nous découvrirons, en fait, que toutes les règles peuvent être gardées pour les nombres entiers négatifs aussi bien que pour les entiers positifs.

Nous avons ainsi augmenté le domaine des objets sur lequel les règles s'appliquent, mais la signification des symboles est différente.
On ne peut pas dire par exemple que -2 signifie réellement additionner 5 successivement -2 fois. Cela ne signifie rien. Mais Néanmoins, tout va correctement fonctionner selon les règles.

Un problème intéressant apparaît lorsqu'on élève à la puissance. Supposez que nous voulions découvrir ce que signifie a^{(3 - 5)}.
Nous savons seulement que (3 - 5) est une solution du problème, (3 - 5) + 5 = 3. Sachant cela, nous savons que a^{(3 - 5)}a⁵ = a³. Ainsi, a^{(3 - 5)} = a³ ⁄ a⁵, par définition de la division.
Avec un petit travail supplémentaire, ceci peut être réduit à 1 ⁄ a².

Ainsi nous trouvons que les puissances négatives sont les inverses des puissances positives, mais 1 ⁄ a² est un symbole sans signification, car si a est un entier positif ou négatif, le carré de celui-ci est plus grand que 1, et nous ne savons pas encore maintenant ce que cela signifie de diviser 1 par un nombre plus grand que 1 !

En avant ! Le grand plan consiste à continuer le processus de généralisation, chaque fois que nous découvrons un autre problème que nous ne pouvons résoudre : nous étendons notre domaine de nombres. Considérez la division : nous ne pouvons trouver un nombre qui soit un entier, même un entier négatif qui soit égal au résultat de la division de 3 par 5. Mais si nous supposons que tous les nombres fractionnaires satisfont également à ces règles, alors nous pouvons parler de la multiplication et de l'addition des fractions, et tout fonctionnera aussi bien que précédemment.

Prenons un autre exemple de puissance : qu'est-ce que a^⅗ ? Nous savons seulement que (3 ⁄ 5)5 = 3, puisque c'était la définition même de 3 ⁄ 5. Nous savons ainsi également que (a^(⅗))⁵ = a^(⅗)(5) = a³, parce que c'est une des règles.

Alors par définition des racines nous trouvons que a^(⅗) = ⁵√a³

Nous pouvons donc de cette manière définir ce que nous entendons par mettre des fractions dans les divers symboles, par utiliser les règles elles-mêmes pour nous aider à déterminer la définition, ce n'est pas arbitraire. C'est un fait remarquable que toutes les règles fonctionnent encore pour les entiers positifs et négatifs, aussi bien que pour les fractions.

Avançons dans le processus de généralisation. Y-a-t-il d'autres équations que nous ne puissions résoudre ? Il y en a. Par exemple, il est impossible de résoudre cette équation :
b = 2^½ = √2.
On entend par là qu'il est impossible de trouver un nombre qui soit rationnel (une fraction) dont le carré soit égal à 2. Il nous est très facile, à l'heure actuelle, de répondre à cette question. Nous connaissons le système décimal, et nous n'avons ainsi aucune difficulté à saisir la signification d'un nombre décimal ne se terminant jamais, comme type d'approximation de la racine carrée de 2. Historiquement, les grecs ont eu beaucoup de difficultés avec cette idée. Pour définir réellement précisément ce que nous voulons dire ici, il faut ajouter quelques notions de continuité et d'ordre, et c'est en fait en cet endroit l'étape qui se trouve être la plus difficile du processus de généralisation. Cela fut fait formellement et rigoureusement par Dedekind. Cependant, sans se préoccuper de la rigueur mathématique de la chose, il est assez facile de comprendre que nous voulons dire que nous allons trouver toute une suite de fractions approchées, de fractions parfaites (parce que tout nombre décimal, lorsqu'il s'arrête quelque part, est bien sûr rationnel) qui ne font que continuer à se rapprocher de plus en plus près du résultat désiré. C'est suffisant pour ce que nous voulons discuter, et cela nous permet de nous familiariser avec les nombres irrationnels, et de calculer des choses telles que la racine carrée de 2 avec la précision que nous désirons, pourvu d'y mettre le temps.

(*) Pour définir formellement ce que l'on entend par nombre rationnel, on prend le point 0 et on construit un ensemble identique à celui des entiers naturels ℕ sauf qu'on place un signe moins devant chaque membre du nouvel ensemble créé. On donne ainsi un sens à tout ceci en distinguant les éléments de part et d'autres de zéro, et l'ensemble ainsi obtenu forme l'ensemble des nombres entiers relatifs.

Obtenir des valeurs approchees des nombres irrationnels

Le problème suivant est de savoir ce qu'on obtient avec les puissances irrationnelles. Il faut que nous soyions sûrs qu'on peut tout calculer. Supposez que nous voulions définir par exemple 10^√2. En principe la réponse est simple. Si nous prenons une valeur approchée de la racine carrée de 2 jusqu'à un certain nombre de chiffres après la virgule, alors la puissance est rationnelle, et nous pouvons prendre la racine approchée avec la méthode ci-dessus, et nous obtenons une approximation de 10^√2.
Puis, nous pouvons pousser quelques chiffres plus loin (c'est à nouveau rationnel), prendre la racine appropriée, cette fois-ci une racine d'ordre beaucoup plus élevé, parce que le dénominateur de la fraction est beaucoup plus grand, et nous obtenons une meilleure approximation. Bien entendu, nous allons obtenir des racines d'un ordre éxagérément élevé, et le travail sera assez difficile. Comment pourrions nous surmonter ces difficultés ?

Dans les calculs des racines carrées, des racines cubiques et d'autres petites racines, on utilise un processus arithmétique par lequel nous pouvons obtenir l'un après l'autre les chiffres après la virgule. Mais la quantité de travail nécessaire pour calculer les puissances irrationnelles, ainsi que les logarithmes qui les accompagnent (le problème inverse), est si élevée qu'il n'y a pas de processus arithmétique simple que nous puissions utiliser. C'est pourquoi des tables ont été élaborées qui nous permettent de calculer ces puissances; elles sont appelées les tables de logarithmes, ou les tables de puissance, selon la manière dont la table est établie. C'est simplement une question d'économie de temps, si nous devons élever un nombre à une puissance irrationnelle, nous pouvons regarder dans la table plutôt que de le calculer.
Bien sûr, un tel calcul n'est qu'un problème technique, mais il est intéressant et de grande valeur historique. Nous n'avons pas simplement le problème de résoudre
10^x = 2, ou x = log₁₀2.
Ce n'est pas un problème où nous devons définir un nouveau type de nombre pour obtenir le résultat, c'est simplement un problème de calcul. La réponse est simplement un nombre irrationnel, avec une suite infinie de chiffres après la virgule, et non un nouveau type de nombre.

Discutons maintenant le problème de calculer les solutions de telles équations. L'idée générale est en réalité très simple. Si nous sommes en mesure de calculer 10¹, et 10^{4 ⁄ 10}, et 10^{1 ⁄ 100}, et 10^{4 ⁄ 1.000}, etc, et de multiplier le tout, nous obtiendrons 10^1.414..., ou 10^√2, et c'est bien là l'idée générale concernant le fonctionnement du calcul.
Mais au lieu de calculer 10^{1 ⁄ 10}, etc, nous calculerons 10^½, 10^¼, etc.
Avant de commencer, nous devons expliquer pourquoi nous faisons tout ce travail avec 10, au lieu de choisir un autre nombre. Bien sûr, vous réalisez que les tables de logarithmes sont d'une grande utilité pratique, même en écartant le problème mathématique de prendre des racines, puisque dans toute base, nous avons la relation :

log_b(ac) = log_ba + log_bc (1)

Nous avons l'habitude d'utiliser ce faut d'une manière pratique pour multiplier les nombres, si nous disposons d'une table de logarithmes. La seule question est de savoir dans quelle base b devons-nous calculer ? La base utilisée n'a pas d'importance, nous pouvons utiliser le même principe tout le temps, et si nous utilisons des logarithmes dans n'importe quelle base particulière, nous pouvons trouver les logarithmes dans n'importe quelle autre base, simplement par un changement d'échelle, en multipliant par un facteur. Si nous multiplions l'équation (1) par 61, elle est toujours aussi vraie, et si nous disposons d'une table de logarithmes avec une base b, et que quelqu'un d'autre multiplie notre table entière par 61, il n'y aura pas de différences essentielles. Supposez que nous connaissions oles logarithmes de tous les nombres dans la base b. En d'autres termes, nous pouvons résoudre l'équation
b^a = c pour n'importe quel c, parce que nous avons une table.
Le problème est de trouver le logarithme du même nombre c dans une autre base, disons la base x. Nous aimerions résoudre
x^a' = c.
C'est facile à faire, parce que nous pouvons toujours écrire x = b^t, ce qui définit t, connaissant x et b. En fait, t = log_bx. Puis, si nous remplaçons dans l'équation et résolvons pour a', nous voyons que (b^t)^a' = b^ta' = c. En d'autres termes, ta' est le logarithme de c dans la base b. Ainsi, a' = a ⁄ t. Donc les logarithmes dans la base x ne sont que le produit de 1 ⁄ t, qui est une constante, par les logarithmes dans la base b. N'importe quelle table de logarithmes est donc équivalente à n'importe quelle autre table de logarithmes, si nous multiplions par une constante, et la constante est 1 ⁄ log_bx.
Ceci nous permet de choisir une base particulière, et par commodité nous prendrons la base 10 (on peut se poser la question d'une base naturelle, toute base dans laquelle les choses seraient, en quelque manière, plus simples et nous essayerons plus tard de trouver une réponse à cette question. Pour le moment, nous utiliserons simplement la base 10).

Voyons maintenant comment calculer les logarithmes. Nous commençons par le calcul des racines de 10 successives, par des essais. Les résultats sont indiqués sur le tableau ci-dessous.

Exposant s	1024 s	10s	(10s - 1) ⁄ s
Racines carrées successives de 10
1	1024	10.00000	9.00
1 ⁄ 2	512	3.16228	4.32
1 ⁄ 4	256	1.77828	3.113
1 ⁄ 8	128	1.33352	2.668
1 ⁄ 16	64	1.15478	2.476
1 ⁄ 32	32	1.074607	2.3874
1 ⁄ 64	16	1.036633	2.3445
1 ⁄ 128	8	1.018152	2.3234
1 ⁄ 256	4	1.0090350	2.3130
1 ⁄ 512	2	1.0045073	2.3077
1 ⁄ 1024	1	1.0022511	2.3051
Δ ⁄ 1024	Δ	1 + .0022486	2.3025
Δ -> 0

Les puissances de 10 sont données à la première colonne, et le résultat 10^s est donné dans la troisième colonne. Ainsi 10¹ = 10. Nous pouvons facilement trouver la puissance un demi de 10, parce que c'est la racine carrée de 10, et prendre la racine carrée de n'importe quel nombre est un processus simple et connu (*). En utilisant ce processus, nous trouvons que la première racine carrée vaut 3,16228. Quelle est la valeur de ce résultat ? Il nous dit déjà quelque chose, il nous dit comment calculer 10^0,5, aussi nous connaissons maintenant au moins un logarithme, si jamais nous avons besoin du logarithme de 3,16228, nous connaissons la réponse qui est très proche de 0,50000. Mais nous devons faire un petit peu mieux que cela; clairement il nous faut plus d'information. Aussi nous prenons à nouveau la racine carrée et trouvons 10^¼, qui est 1,77828. Nous avons maintenant le logarithme de plus de nombres que précédemment, 1,250 est le logarithme de 17,78 et, incidemment, si quelqu'un demande la valeur de 10^0,75, nous pouvons l'obtenir, parce que c'est 10^{(0,5 + 0,25)}; c'est donc le produit du deuxième et du troisième nombre. Si nous obtenons suffisamment de nombres dans la colonne s pour être capables de traiter n'importe quel nombre, alors en multipliant les nombres correspondants dans la colonne 3, nous pouvons obtenir 10 à n'importe quelle puissance; c'est bien là le plan. Aussi nous évaluons 10 racines carrées successives de 10, et c'est le principal travail de ces calculs.

Pourquoi ne continuons nous pas afin de gagner de plus en plus de précisions ? Parce que nous commençons de remarquer quelque chose. Lorsque nous élevons 10 à une très petite puissance, nous obtenons 1 plus une petite quantité. La raison en est claire : nous devons prendre la puissance 1000ème de 10^{1 ⁄ 1000} pour revenir à 10, ce qui nous oblige de partir avec un nombre qui ne soit pas trop grand; il doit être proche de 1. Nous remarquons que les petits nombres qui sont ajoutés à 1 ressemblent à ce qu'on obtiendrait en divisant par 2 chaque fois; nous voyons que 1815 devient 903, puis 450, puis 225; il est donc clair qu'à une excellente approximation, si nous prenons une autre racine, nous obtiendrons 1,00112, et plutôt que de réellement prendre toutes les racines carrées, nous faisons une estimation de la limite ultime. Lorsque nous prenons une petite fraction Δ de 1024, lorsque Δ approche de zéro, quelle sera la réponse ? Ce sera bien sûr un nombre proche de 0,0022511 Δ. Pas exactement 0,0022511 Δ, cependant, nous obtenons une meilleure valeur par l'astuce suivante: nous soustrayons 1 et divisons alors par la puissance s. Ceci doit ramener tous les nombres en excès à la même valeur. Nous voyons qu'ils sont très proches. Au sommet de la table, ils ne sont pas égaux, mais lorsqu'on descend, ils se rapprochent de plus en plus d'une valeur constante. Quelle est cette valeur ? A nouveau nous regardons comment la série progresse, comment elle change avec s. Elle a changé de 211, de 104, de 53, de 26. Ces changements sont évidemment de très près égaux à la moitié de chaque changement précédent, lorsque nous descendons. Si donc nous continuons, les changements seront 13, 7, 3, 2 et 1, plus ou moins, soit un total de 26.
Il nous faut donc encore se déplacer de 26, et nous trouvons ainsi le vrai nombre qui est 2,3025 (en réalité, nous verrons plus tard que le nombre exact doit être de 2,3026, mais pour garder un aspect authentique, nous ne modifierons rien dans l'arithmétique). A partir de cette table nous pouvons calculer toute puissance de 10 en composant les puissances à partir des 1024èmes.

Calculons maintenant effectivement le logarithme, car le processus que nous devrons utiliser est à l'origine réelle des tables de logarithmes. La procédure est indiquée dans le paragraphe suivant, et les valeurs numériques sont données dans le tableau précédent, colonnes 2 et 3.

Calcul d'un logarithme : log₁₀2

2 ÷ 1.77828 ₌ 1.124682
1.124682 ÷ 1.074607 ₌ 1.046598, etc.
∴ 2 ₌ (1.77828)(1.074607)(1.036633)(1.090350)(1.000573)
₌ 10[1 ⁄ 1024(256 + 32 + 16 + 4 + 0.254)] ₌ 10[308.254 ⁄ 1024]
₌ 10^0.30103                                    (573 ⁄ 2249 ₌ 0.254)
∴ log₁₀2 ₌ 0.30103

Supposez que nous voulions le logarithme de 2. C'est à dire que nous voulons savoir à quelle puissance nous devons élever 10 pour obtenir 2. Pouvons nous élever 10 à la puissance ½ ? Non, c'est trop grand. En d'autres termes, vous pouvez voir que la réponse sera plus grande que ¼ et plus petite que ½. Ecartons le facteur 10^¼; nous divisons 2 par 1,788..., et nous obtenons 1,124..., etc., maintenant que nous savons que nous avons écarté 0,250000 du logarithme.
Le nombre 1,124... est maintenant le nombre dont nous cherchons le logarithme. Lorsque ce sera terminé, nous ajouterons ¼, ou 256 ⁄ 1024. Nous regardons maintenant dans la table quel est le nombre juste en dessous de 1,124... c'est 1.074607. De ce fait, nous divisons par 1.074607 et obtenons 1,046598. De là nous découvrons que 2 peut être formé par un produit de nombres qui se trouvent dans le tableau précédent comme suit :
2 ₌ (1.77828)(1.074607)(1.036633)(1.090350)(1.000573)
Un facteur (1.000573) a été laissé de côté naturellement, car il est au delà du domaine de notre table. Pour obtenir le logarithme de ce facteur, nous utilisons notre résultat que
10^{Δ ⁄ 1024} ≈ 1 + 2,3025Δ ⁄ 1024. Nous trouvons Δ ₌ 0,254. Notre réponse est donc 10 à la puissance suivante :(256 + 32 + 16 + 4 + 0,254) ⁄ 1024. En ajoutant tout ceci, nous obtenons 308,254 ⁄ 1024. Et en divisant nous obtenons 0,30103, ainsi nous savons que le log₁₀2 ₌ 0,30103, ce qui est exact à 5 décimales près !

C'est la manière dont les logarithmes furent initialement calculés par Mr. Briggs de Halifax en 1620. Il disait :
« J'ai calculé successivement 54 racines carrée de 10. »
Nous savons qu'il n'a réellement calculé que les 27 premières, parce que le reste peut être obtenu par l'astuce avec Δ. Son travail a comporté le calcul de la racine carrée de 10 prise vingt-sept fois, ce qui n'est pas tellement plus que les 10 fois que nous venons de faire, cependant ce fut un travail plus important, parce qu'il calcula jusqu'à la 16ème décimale, et réduisit ensuite sa réponse à la 14ème lorsqu'il la publia, afin d'éviter les erreurs d'arrondir. Il fabriqua par cette méthode des tables de logarithmes à quatorze chiffres décimaux, ce qui est plutôt fastidieux. Mais toutes les tables de logarithmes pendant 300 ans furent extraites des tables de Mr. Briggs en réduisant le nombre de chiffres décimaux. Ce n'est que dans les temps modernes, avec le WPA et les machines à calculer, que des tables nouvelles ont été calculées indépendamment. Il y a des méthodes bien plus efficaces pour calculer le logarithme à l'heure actuelle, qui utilisent certains développements en série.

Dans le processus ci-dessus nous avons découvert quelque chose d'assez intéressant, et c'est que pour toute très petite puissance ε, nous pouvons facilement calculer 10^ε. Nous avons découvert que 10^ε ₌ 1 + 2,3025_ε, par un simple calcul numérique. Bien sûr, ceci signifie également que 10^{n ⁄ 2,3025} ₌ 1 + n si n est très petit. Or, les logarithmes dans n'importe quelle autre base sont simplement des multiples des logarithmes dans la base de 10. La base 10 ne fut utilisée que parce que nous avons 10 doigts, et que son arithmétique est facile, mais si nous cherchons une base mathématique naturelle, une base qui n'a rien à voir avec le nombre de doigts d'un être humain, nous pouvons essayer de modifier notre échelle de logarithmes d'une manière naturelle et commode, et la méthode que les gens ont choisie consiste à redéfinir les logarithmes en multipliant tous les logarithmes dans la base 10 par 2,3025... Ceci correspond donc à utiliser une autre base, et elle est appelée la base naturelle, ou la base ₑ. Remarquez que log_ₑ(1 + n) ∼ n, ou ₑⁿ ≈ 1 + n lorsque n tend vers 0.

Il est assez facile de trouver ce que vaut ₑ; ₑ ₌ 10^{1 ⁄ 2,3025}, ou 10^0,434294..., une puissance irrationnelle. Notre table des racines carrées successives de 10 peut être utilisée pour calculer non seulement de logarithmes, mais également n'importe quelle puissance de 10, aussi utilisons là pour calculer cette base naturelle ₑ. Par commodité nous transformons 0,434294 en 444,73 ⁄ 1024. Or 444,73 vaut 256 + 128 + 32 + 16 + 2 + 0,73. De ce fait ₑ, puisque c'est l'exposant d'une somme, sera le produit des nombres
(1.77828)(1.33352)(1.074607)(1.036633)(1.018152)(1.009035)(1.001643) ₌ 2.7184
(Le seul problème est posé par le dernier nombre 0,73, car il n'est pas dans la table, mais nous savons que si Δ est suffisamment petit, la réponse est 1 + 2,3025Δ)
Lorsque nous multiplions tous ces nombres, nous obtenons 2,7184 (cela devrait être 2,7183, mais l'écart n'est pas significatif). L'utilisation de telles tables est donc la manière par laquelle les puissances irrationnelles et les logarithmes des nombres irrationnels sont tous calculés.

Nous avons ainsi liquidé les nombres irrationnels.

On va y arriver

Si tout ceci peut paraître long et fastidieux, il est bon de rappeler que le but de la manoeuvre est de pouvoir résoudre toutes les équations. Or, il apparaît qu'avec tous les outils accumulés jusqu'à présent, on ne peut toujours pas toutes les résoudre. Par exemple, comment connaître la racine carrée de -1 ? Supposons que nous devions trouver x² ₌ -1. Le carré d'aucun rationnel, d'aucun irrationnel, de rien de ce que nous avons découvert jusqu'à présent n'est égal à -1. Il nous faut donc à nouveau généraliser nos nombres à une classe plus large. Supposons qu'une solution spécifique de x² ₌ -1 soit appelée d'une certaine manière, nous l'appelons i. i a par définition la propriété que son carré vaut -1. C'est à peu près tout ce que nous dirons sur lui, bien sûr, l'équation x² ₌ -1 a plus d'une racine. Quelqu'un peut écrire i, mais quelqu'un d'autre peut dire, « Non, je préfère -i, mon i est moins votre i. »
C'est aussi une bonne solution, et puisque la seule définition de i est que x² ₌ -1, n'importe quelle équation que nous pouvons écrire est également vraie si le signe de i est changé partout. On appelle cela prendre le complexe conjugué. Nous allons maintenant fabriquer des nombres en additionnant des i successivement, et en multipliant des i par des nombres, et additionnant d'autres nombres, etc, selon toutes nos règles prédédemment définies. De cette manière, nous trouvons que les nombres peuvent être tous écrits sous la forme p + iq, où p et q sont ce que nous appelons des nombres réels, c'est à dire les nombres que nous avons définis jusqu'à maintenant.

En cours de construction (Merci de votre indulgence)

Sources :

Auteur	Titre
Roger Penrose	A la découverte des lois de l'univers
Richard Feynmann	Le cours de physique de Feynmann - Mécanique Tome 1

La science est en marche !

Je remercie mon entourage direct pour son soutien, ses propositions et ses idées, blablabla c'est pas facile de trouver des trucs intelligents à écrire.

C'est la chronique d'un imbécile, merci de l'avoir consultée.